初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題：整數(shù)的整除性
1.整數(shù)的整除性的有關(guān)概念、性質(zhì)
(1)整除的定義：對(duì)于兩個(gè)整數(shù)a、d(d≠0)，若存在一個(gè)整數(shù)p，使得成立，則稱d整除a，或a被d整除，記作d|a。
若d不能整除a，則記作da，如2|6，46。
(2)性質(zhì)
1)若b|a，則b|(-a)，且對(duì)任意的非零整數(shù)m有bm|am
2)若a|b，b|a，則|a|=|b|;
3)若b|a，c|b，則c|a
4)若b|ac，而(a，b)=1((a，b)=1表示a、b互質(zhì)，則b|c;
5)若b|ac，而b為質(zhì)數(shù)，則b|a，或b|c;
6)若c|a，c|b，則c|(ma+nb)，其中m、n為任意整數(shù)(這一性質(zhì)還可以推廣到更多項(xiàng)的和)
例1(1987年北京初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)x，y，z均為整數(shù)，若11|(7x+2y-5z)，求證：11|(3x-7y+12z)。
證明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)
而11|11(3x-2y+3z),
且11|(7x+2y-5z),
∴11|4(3x-7y+12z)
又(11,4)=1
∴11|(3x-7y+12z).
2.整除性問(wèn)題的證明方法
(1)利用數(shù)的整除性特征(見(jiàn)第二講)
(2)利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì)
①任意兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之積必定是一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之一積，因此一定可被2整除。
�、谌我馊齻�(gè)連續(xù)整數(shù)之中至少有一個(gè)偶數(shù)且至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。
這個(gè)性質(zhì)可以推廣到任意個(gè)整數(shù)連續(xù)之積。
例4一整數(shù)a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.
證明∵a2+23=(a2-1)+24，只需證a2-1可以被24整除即可.
∵2.∴a為奇數(shù).設(shè)a=2k+1(k為整數(shù)),
則a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).
∵k、k+1為二個(gè)連續(xù)整數(shù)，故k(k+1)必能被2整除，
∴8|4k(k+1)，即8|(a2-1).
又∵(a-1)，a，(a+1)為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，其積必被3整除，即3|a(a-1)(a+1)=a(a2-1)，
∵3a，∴3|(a2-1).3與8互質(zhì),∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.
(3)利用整數(shù)的奇偶性
下面我們應(yīng)用第三講介紹的整數(shù)奇偶性的有關(guān)知識(shí)來(lái)解幾個(gè)整數(shù)問(wèn)題.
例7(美國(guó)第4屆數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值是多少?
解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.
若n+100能被n+10整除,則900也能被n+10整除.而且,當(dāng)n+10的值為最大時(shí),相應(yīng)地n的值為最大.因?yàn)?00的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.
1.選擇題
(1)(1987年上海初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)若數(shù)n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，則不是n的因數(shù)的最小質(zhì)數(shù)是().
(A)19(B)17(C)13(D)非上述答案
(2)在整數(shù)0、1、2…、8、9中質(zhì)數(shù)有x個(gè)，偶數(shù)有y個(gè)，完全平方數(shù)有z個(gè)，則x+y+z等于().
(A)14(B)13(C)12(D)11(E)10
(3)可除盡311+518的最小整數(shù)是().
(A)2(B)3(C)5(D)311+518(E)以上都不是
2.填空題
(1)(1973年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)把100000表示為兩個(gè)整數(shù)的乘積，使其中沒(méi)有一個(gè)是10的整倍數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)_________.
(2)一個(gè)自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù),與3的差是6的倍數(shù),這樣的自然數(shù)中最小的是_________.
(3)(1989年全國(guó)初中聯(lián)賽題)在十進(jìn)制中,各位數(shù)碼是0或1,并且能被225整除的最小自然數(shù)是________.
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最新消息教育部公示擬同意黎明職業(yè)大學(xué)升本！
日前，福州市招收體藝特長(zhǎng)生、特色班的普高（含綜合高中班）已經(jīng)陸續(xù)公布方案，包含具體的報(bào)名時(shí)間、專(zhuān)業(yè)測(cè)試時(shí)間、中考成績(jī)最低要求等，請(qǐng)考生和家長(zhǎng)們認(rèn)真查閱。（相關(guān)閱讀：福州普高體藝特長(zhǎng)生、特色班招生計(jì)劃發(fā)布！）
快訊！2025年福建省中考全科試卷+答案出爐
2025年福建9地市中考成績(jī)查詢?nèi)肟趨R總！
2025福建六地市初三五月質(zhì)檢福州、廈門(mén)、泉州、莆田、三明、南平今日已經(jīng)考完，五月質(zhì)檢即將接近尾聲，網(wǎng)傳閱卷將在5月12日18點(diǎn)結(jié)束之后各校質(zhì)檢成績(jī)應(yīng)該都能出來(lái)了，5月20日前將公布本次質(zhì)檢五分段排位表，屆時(shí)本站將第一時(shí)間更新，請(qǐng)各位家長(zhǎng)和考生持續(xù)關(guān)注本站。
日前，中國(guó)大學(xué)排行榜（CNUR）網(wǎng)站正式發(fā)布了2025年ABC中國(guó)高職院校排名（1000所）和2025年ABC中國(guó)職業(yè)本科大學(xué)排名（60所）。本文根據(jù)排名結(jié)果，梳理出2025年福建省36所上榜院校，快來(lái)看看有沒(méi)有你的學(xué)校。
今日泉州市初三質(zhì)檢考試開(kāi)考！上午進(jìn)行了語(yǔ)文科考試此前寧德4月初三質(zhì)檢考試已結(jié)束 這幾個(gè)地市作文題新鮮出爐先來(lái)一睹為快！（龍巖、漳州還未開(kāi)考）
剛剛，福州市教育局發(fā)布《關(guān)于福州市2025年普通高中（含綜合高中班）體育藝術(shù)特長(zhǎng)生特色班招生工作的通知》具體情況一起來(lái)看
2025年福建9地市初三二檢時(shí)間安排全部出爐啦!
關(guān)于2025年福建省高職院校分類(lèi)考試招生考生成績(jī)公布的通告
2021年福建省中考于6月25日至27日舉行，此前，經(jīng)過(guò)兩年的準(zhǔn)備和過(guò)渡，2021年起全省初中畢業(yè)生全面實(shí)行新的高中階段學(xué)校考試招生方案，形成基于初中學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)、結(jié)合綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)的高中階段學(xué)�？荚囌猩浫∧Ｊ剑龠M(jìn)學(xué)生全面發(fā)展健康成長(zhǎng)，維護(hù)教育公平。
2021年部分地區(qū)的中考時(shí)間已經(jīng)確定了，不僅學(xué)生們都在把握時(shí)間努力在剩下的日子里創(chuàng)造奇跡，家長(zhǎng)朋友們也在用自己的方式給他們加油打氣。在中國(guó)，中考和高考都是很重要的，都是孩子們的新的起點(diǎn)，所以家長(zhǎng)和學(xué)校老師都很在意中考分?jǐn)?shù)線，現(xiàn)在也有一些專(zhuān)業(yè)人士根據(jù)往年情況對(duì)中考分?jǐn)?shù)線以及最低分?jǐn)?shù)線做出了預(yù)測(cè)，大家一起來(lái)了解一下2021年中考分?jǐn)?shù)線是多以及2021年中考最低分?jǐn)?shù)線的內(nèi)容。
語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)3門(mén)科目滿分各150分，按卷面原始分?jǐn)?shù)計(jì)入中招錄取總分;體育與健康科目滿分40分(含基本知識(shí)4分，與道德與法治合一張考卷考試，16道選擇題);物理、化學(xué)、道德與法治、歷史、地理、生物學(xué)科卷面分?jǐn)?shù)均為100分，分別按卷面成績(jī)的90%、60%、50%、50%、30%、30%計(jì)入中招錄取總分，滿分分別為90分、60分、50分、50分、30分、30分。
根據(jù)《龍巖市招生考試委員會(huì)關(guān)于做好龍巖市2020年初中學(xué)業(yè)水平考試與高中階段學(xué)校(含五年制高職)招生工作的通知》(巖招委〔2020〕1號(hào)),2020年永定區(qū)普通高中錄取分?jǐn)?shù)線已經(jīng)